本文討論了如何在 OpticStudio 中對(duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)進(jìn)行建模和解釋。使用的分析特征是 Spot Diagram、FFT PSF 和 Huygens PSF。將討論每種工具的優(yōu)點(diǎn)，以及用于最準(zhǔn)確分析的有用特征設(shè)置。

光學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù) （PSF） 是單個(gè)點(diǎn)光源產(chǎn)生的輻照度分布。（望遠(yuǎn)鏡拍攝遙遠(yuǎn)恒星的圖像就是一個(gè)很好的例子。盡管源可能是一個(gè)點(diǎn)，但圖像不是。有兩個(gè)主要原因：首先系統(tǒng)中的像差會(huì)將圖像傳播到有限的區(qū)域；其次衍射效果也會(huì)擴(kuò)散圖像，即使在沒(méi)有像差的系統(tǒng)中也是如此。

OpticStudio 有三種基本類(lèi)型的 PSF 計(jì)算：幾何（無(wú)衍射）點(diǎn)列圖、基于衍射的 FFT 和 Huygens PSF。本文將討論基本理論，并就正確使用每種類(lèi)型的 PSF 提供一些指導(dǎo)。

OpticStudio 中最基本的分析功能之一是點(diǎn)列圖。此功能從物空間中的單視場(chǎng)點(diǎn)發(fā)射許多光線(xiàn)，通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)追跡所有光線(xiàn)，并繪制所有光線(xiàn)相對(duì)于某個(gè)公共參考的 （x， y） 坐標(biāo)。因此，點(diǎn)列圖本身就可以看作一個(gè)幾何 PSF。

這里使用的示例光學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)焦距為 50 mm 的單拋物面 F/5 反射鏡，物位于無(wú)窮遠(yuǎn)處。該系統(tǒng)是一個(gè)簡(jiǎn)化的牛頓望遠(yuǎn)鏡，包含的示例文件為 PSF_Newtonian.ZMX。以下是光學(xué)系統(tǒng)的外觀(guān)：

兩個(gè)視場(chǎng)點(diǎn)（一個(gè)在軸上，另一個(gè)呈 2 度角）的點(diǎn)列圖如下所示。

請(qǐng)注意，點(diǎn)列圖是光線(xiàn)落點(diǎn)的集合，每個(gè)點(diǎn)表示一條光線(xiàn)。光線(xiàn)之間沒(méi)有相互作用或干擾。點(diǎn)列圖在顯示望遠(yuǎn)鏡的幾何或光線(xiàn)像差的影響方面非常有效。離軸幾何 PSF 清楚地顯示了系統(tǒng)的彗差和像散。然而在軸上，點(diǎn)列圖預(yù)測(cè)了完美的成像。但這是否準(zhǔn)確代表了光學(xué)系統(tǒng)的性能？為了回答點(diǎn)列圖結(jié)果的這個(gè)問(wèn)題，我們需要將點(diǎn)列分布與衍射極限響應(yīng)進(jìn)行比較。

將幾何像差與衍射極限進(jìn)行比較的一種快速方法是在點(diǎn)列圖中添加艾里斑參考橢圓。打開(kāi)?設(shè)置?并選擇?顯示 Airy Disk。

對(duì)于軸上視場(chǎng)而言，光斑比艾里斑小得多，而在軸外光斑則比艾里斑尺寸大得多。這表明點(diǎn)列圖是一個(gè)有用且合理的離軸性能指標(biāo)。為了在軸上和軸外計(jì)算更精確的PSF，需要考慮衍射。

一般來(lái)說(shuō)，如果像差與系統(tǒng)的衍射極限性能相比較大，則點(diǎn)列圖是最實(shí)用的成像性能評(píng)估工具。

大多數(shù)光學(xué)成像系統(tǒng)都滿(mǎn)足 FFT PSF 算法使用的 Fraunhofer 衍射理論所需的簡(jiǎn)化假設(shè)。主要假設(shè)是：

光學(xué)系統(tǒng)的 FFT PSF 計(jì)算如下：光線(xiàn)網(wǎng)格從光源點(diǎn)到出瞳進(jìn)行追跡。對(duì)于每條光線(xiàn)，振幅和光程差用于計(jì)算波前網(wǎng)格在出瞳處的復(fù)振幅分布。然后對(duì)這個(gè)網(wǎng)格的 FFT 進(jìn)行適當(dāng)縮放，以產(chǎn)生實(shí)際值的 PSF。如果計(jì)算是多色的，則 PSF 的總和是不連貫的。

要計(jì)算序列系統(tǒng)的 FFT PSF，請(qǐng)選擇?Analyze...PSF...FFT PSF?，牛頓望遠(yuǎn)鏡示例文件的軸上場(chǎng)點(diǎn)的 FFT PSF 樣本如下所示。請(qǐng)注意，這些設(shè)置已從默認(rèn)設(shè)置修改而來(lái)，稍后將對(duì)此進(jìn)行討論。

請(qǐng)注意熟悉的 Airy Disk 形狀。這是該示例文件的預(yù)期結(jié)果，即軸上視場(chǎng)點(diǎn)無(wú)像差。要生成上圖，F(xiàn)FT PSF 設(shè)置對(duì)話(huà)框應(yīng)如下所示：

采樣是指追跡到入瞳的光線(xiàn)網(wǎng)格密度。在內(nèi)部，OpticStudio 將網(wǎng)格的大小加倍，用零值數(shù)據(jù)填充入瞳之外的區(qū)域。由于這種加倍，輸出 PSF 始終位于點(diǎn)數(shù)是采樣網(wǎng)格兩倍的網(wǎng)格上。如果像差相當(dāng)小，則考察區(qū)域集中在繪圖中心附近。與其繪制所有這些接近零的振幅點(diǎn)，不如選擇顯示網(wǎng)格小于計(jì)算的總網(wǎng)格。

有多種方法可以顯示相同的基礎(chǔ) PSF 數(shù)據(jù)。嘗試下面顯示的設(shè)置。

注意 “顯示”為 128 x 128，“視場(chǎng)”為 2，“類(lèi)型”為“Log”，并且“顯示為”設(shè)置為“偽彩色”。以下是生成的 PSF：

從概念上講，Huygens PSF 是通過(guò)將點(diǎn)列圖上的每條光線(xiàn)轉(zhuǎn)換為小平面波來(lái)計(jì)算的?；叵胍幌?，光線(xiàn)對(duì)平面波的一小部分進(jìn)行建模，并且光線(xiàn)在各向同性介質(zhì)中局部垂直于波前。平面波的振幅、相位和方向由與產(chǎn)生它的光線(xiàn)相關(guān)的數(shù)據(jù)確定。像面上任何點(diǎn)的總輻照度可以通過(guò)追跡所有光線(xiàn)所表示的所有平面波相干求和來(lái)確定。基于衍射的 PSF 是由所有光線(xiàn)的這種積分直接給出的。

雖然 OpticStudio 中的大多數(shù)衍射分析都假設(shè)適用標(biāo)量衍射理論（F/# 不是太?。绻麊⒂谩笆褂闷瘛遍_(kāi)關(guān)，Huygens方法可以解釋電場(chǎng)的矢量性質(zhì)。所有基于惠更斯的分析都考慮了全偏振矢量和偏振相位像差。這些計(jì)算的工作原理是分別計(jì)算極化電場(chǎng)的 Ex、Ey 和 Ez 分量的數(shù)據(jù)，然后將結(jié)果不連貫地求和。在電場(chǎng)的每個(gè)正交分量中感應(yīng)的極化相位像差被視為任何其他相位像差。

幾乎所有成像系統(tǒng)都滿(mǎn)足計(jì)算Huygens PSF 所需的簡(jiǎn)化假設(shè)。然而，Huygens PSF 的準(zhǔn)確計(jì)算更需要足夠的采樣。

Huygens PSF 不是基于 FFT 的。最終結(jié)果是Huygens PSF 通常比 FFT PSF 慢，但對(duì)于 FFT PSF 假設(shè)不適用的情況更準(zhǔn)確。FFT PSF 假設(shè)有問(wèn)題，因此應(yīng)使用惠更斯 PSF 的一些常見(jiàn)情況是：

• 像面相對(duì)于主光線(xiàn)明顯傾斜

• 出瞳相對(duì)于入瞳明顯失真

光學(xué)系統(tǒng)的Huygens PSF 計(jì)算如下。光線(xiàn)網(wǎng)格從光源點(diǎn)追跡到像面。對(duì)于每條光線(xiàn)，振幅、坐標(biāo)、方向余弦和光程差用于計(jì)算入射到像空間網(wǎng)格上每個(gè)點(diǎn)的平面波的復(fù)振幅。在像空間網(wǎng)格中的每個(gè)點(diǎn)執(zhí)行所有光線(xiàn)的相干求和。像空間網(wǎng)格中每個(gè)點(diǎn)強(qiáng)度是所生成的復(fù)振幅和的平方。如果計(jì)算是多色的，則 PSF 的總和是不連貫的。

要計(jì)算序列模式系統(tǒng)的 Huygens PSF，請(qǐng)選擇?Analyze...PSF ...Huygens PSF?。Huygens PSF 也可以計(jì)算非序列 NSC系統(tǒng)，這將在后面討論。請(qǐng)注意，無(wú)法為 NSC 系統(tǒng)計(jì)算 FFT PSF。

Huygens PSF 的用戶(hù)可定義關(guān)鍵參數(shù)是光瞳采樣、像面采樣和 Image Delta。這些參數(shù)可以在 Huygens PSF 設(shè)置對(duì)話(huà)框中設(shè)置。打開(kāi)?Settings（設(shè)置）并更改?Pupil Sampling、Image Sampling和?Image Delta，如下所示。

Image Delta 是以微米為單位的像點(diǎn)間距。計(jì)算 PSF 的區(qū)域的總大小是 Image Delta 和 Image Sampling 的乘積。這是同一牛頓望遠(yuǎn)鏡示例在軸上的Huygens PSF：

在?Settings?中，通過(guò)指定?Field:2，我們可以看到 PSF 在離軸時(shí)顯示如下。

光線(xiàn)和像點(diǎn)的數(shù)量越多，生成的 PSF 的分辨率和精度就越高，但代價(jià)是計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)。

可視化此積分過(guò)程的一種方法是觀(guān)察一次一條光線(xiàn)的相干求和的效果。這可以通過(guò) OpticStudio 的非序列元件功能中的相干探測(cè)器來(lái)實(shí)現(xiàn)。從提供的文章示例文件中，打開(kāi)?HPSF_Integration.ZMX。

此文件由橢圓光源、單透鏡和 Detector Rectangle 對(duì)象組成。光源在圓形區(qū)域上生成隨機(jī)光線(xiàn)。所有光線(xiàn)都平行于局部 Z 軸射出，即光源為準(zhǔn)直源或遠(yuǎn)距離點(diǎn)光源。請(qǐng)注意，布局光線(xiàn)的數(shù)量設(shè)置為 20，而分析光線(xiàn)的數(shù)量設(shè)置為 1。后一種設(shè)置將允許一次追跡一條光線(xiàn)，稍后將對(duì)此進(jìn)行討論。透鏡是一個(gè)簡(jiǎn)單的單透鏡，放置以使準(zhǔn)直光線(xiàn)很好地聚焦在探測(cè)器上。檢測(cè)器被定義為具有 120 x 120 像素的吸收器。

請(qǐng)注意，Detector Rectable Parameter 11 的 PSF Wave # 設(shè)置為 1。

這種特殊模式允許探測(cè)器執(zhí)行相干的Huygens PSF 積分。到達(dá)探測(cè)器的每條光線(xiàn)都會(huì)轉(zhuǎn)換為局部平面波，照亮探測(cè)器上的每個(gè)像素，并且每個(gè)像素處平面波的相干振幅將添加到已檢測(cè)到的相干振幅中。如果需要，一次追跡一條光線(xiàn)，以便可以看到對(duì)單個(gè)光線(xiàn)求和的效果。

要查看此積分過(guò)程，請(qǐng)打開(kāi)示例文件?HPSF_Integration.ZMX，然后選擇?Analyze...Detector Viewer。在 Detector Viewer 的設(shè)置中，啟用?Auto Update。要追跡光線(xiàn)以進(jìn)行分析，請(qǐng)通過(guò)轉(zhuǎn)到?Analyze...Ray Trace，然后選擇Clear and Trace。由于光源僅定義 1 條分析光線(xiàn)，因此將追跡一條隨機(jī)光線(xiàn)并更新探測(cè)器。單擊 Trace only （僅追跡，不會(huì)清除探測(cè)器數(shù)據(jù)） 以追跡第二條光線(xiàn)?，F(xiàn)在追跡的兩條光線(xiàn)將像兩個(gè)平面波一樣相干干涉，彼此成一定角度，從而在探測(cè)器上產(chǎn)生條紋圖案。因?yàn)楣饩€(xiàn)是隨機(jī)的，所以條紋圖案每次都會(huì)不同，因此看起來(lái)不會(huì)與下圖完全相同。

每次在 Ray Trace 對(duì)話(huà)框中按下 Trace 時(shí)，都會(huì)向 Detector Viewer 中顯示的總和添加另一條光線(xiàn)。追蹤 10 條光線(xiàn)后，衍射 PSF 開(kāi)始出現(xiàn)。

大約 40 條光線(xiàn)后，可以看到艾里環(huán)等特征的形成。

需要幾百條光線(xiàn)才能合理地收斂到最終的 PSF 結(jié)果。

一次追跡一條光線(xiàn)的唯一原因是可視化正在如何積分。要一次追跡多條光線(xiàn)，請(qǐng)導(dǎo)航到非序列元件編輯器 NSCE，然后將橢圓光源物體上的分析光線(xiàn)數(shù)量從 1 更改為 500。

現(xiàn)在重新打開(kāi)光線(xiàn)追跡控制并按下清除和追跡。將一次追跡所有 500 條光線(xiàn)，生成的 PSF 將顯示在 Detector Viewer 窗口中。

即使光線(xiàn)是隨機(jī)選擇的，PSF 也會(huì)收斂到正確的艾里圖案（請(qǐng)注意，這個(gè)特定的鏡頭是受衍射限制的）。

總結(jié)：何時(shí)使用點(diǎn)列圖、FFT PSF 和 Huygens PSF

在以下情況下使用點(diǎn)列圖：

• 與衍射效應(yīng)相比，幾何像差很大。這可以使用點(diǎn)列圖上的艾里斑縮放選項(xiàng)進(jìn)行檢查。

在以下情況下使用 FFT PSF：

• 主光線(xiàn)相對(duì)于像面法線(xiàn)形成一個(gè)小角度;

• 出瞳相對(duì)于入瞳沒(méi)有明顯失真;

• 速度比絕對(duì)精度更重要。

在以下情況下使用 Huygens PSF：

• 需要最高的準(zhǔn)確性。

引用

1. Goodman, Joseph W., Introduction to Fourier Optics, McGraw Hill

2. OpticStudio Help System Zemax LLC, Kirkland, Washington, United States