PML是一種吸收邊界條件，旨在以盡可能小的反射率實(shí)現(xiàn)入射光的吸收。具體而言，這種邊界通常用在仿真區(qū)邊緣，能與周圍材料阻抗匹配，極大限度地減少反射，同時(shí)完全吸收仿真區(qū)內(nèi)的光場(chǎng)。理想狀況下，PML邊界產(chǎn)生零反射，但是實(shí)際上由于基礎(chǔ)PML方程的離散性，總會(huì)存在一定程度的反射，同時(shí)，用有限差分算法中對(duì)于PML方程的離散近似，也會(huì)帶來一定程度的數(shù)值不穩(wěn)定性。

本文介紹Ansys Lumerical FDTD和MODE中的PML邊界條件，并概述如何設(shè)置PML能夠在保證極小化反射誤差、消除數(shù)值不穩(wěn)定性的同時(shí)，避免過多的仿真時(shí)間增加和資源消耗。

圖一 PML屬性設(shè)置

如圖一所示是FDTD和varFDTD仿真區(qū)屬性中，Boundary conditions的選項(xiàng)卡，對(duì)于FDTD、MODE solutions仿真軟件中邊界條件的設(shè)定均可在此實(shí)現(xiàn)，本文聚焦于其中的PML邊界條件。對(duì)于FDE等求解器PML邊界條件的設(shè)置也可類比參照本文內(nèi)容。

1.PML類型：

拉伸坐標(biāo) PML（stretched coordinate PML）：

基于Gedney和Zhao在[2]中提出的公式，是軟件推薦的默認(rèn)選項(xiàng)。

傳統(tǒng)的單軸各向異性PML（uniaxial anisotropic PML legacy）：

也在軟件中提供，該方法在實(shí)踐中應(yīng)用很少。

2.PML配置：

在FDTD或varFDTD仿真區(qū)域中，用戶可以設(shè)置PML邊界吸收特性的所有參數(shù)（圖一右側(cè)）。軟件也直接給出了設(shè)置好參數(shù)的配置組合，在大多數(shù)模擬場(chǎng)景下，用戶只需在四種預(yù)定義的配置（標(biāo)準(zhǔn)、穩(wěn)定、陡角和自定義）中選擇一個(gè)，并微調(diào)層數(shù)即可。整體而言，增加PML層數(shù)會(huì)降低反射，減小PML層數(shù)則會(huì)增加反射，具體每個(gè)配置文件在設(shè)計(jì)時(shí)考慮了特定的應(yīng)用場(chǎng)景，會(huì)在仿真中具有不同的數(shù)值表現(xiàn)：

標(biāo)準(zhǔn)（standard）：

標(biāo)準(zhǔn)配置文件旨在以相對(duì)較少的層數(shù)提供良好的整體吸收。PML層數(shù)的增加會(huì)顯著增加仿真時(shí)間，因此建議在使用其他配置前，首先嘗試此標(biāo)準(zhǔn)配置，如果仿真中不包含PML區(qū)域內(nèi)的材料變化邊界，則該標(biāo)準(zhǔn)配置極大概率是仿真的理想選擇。即，如果被仿真結(jié)構(gòu)能夠完全延伸通過PML區(qū)域，標(biāo)準(zhǔn)配置的邊界條件即可達(dá)到理想性能，但當(dāng)材料變化界面穿過PML區(qū)域時(shí)，可能需要使用穩(wěn)定配置。

穩(wěn)定（stabilized）：

當(dāng)材料邊界穿過PML區(qū)域時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定性，通常表現(xiàn)為PML區(qū)域內(nèi)靠近材料界面處的場(chǎng)振幅出現(xiàn)局部指數(shù)增長(zhǎng)。通常，大多數(shù)數(shù)值不穩(wěn)定問題都可以使用該穩(wěn)定配置解決，但是，穩(wěn)定配置要達(dá)到與標(biāo)準(zhǔn)配置相同的吸收性能，需要更多層PML，可以說穩(wěn)定配置是以增加PML層數(shù)為代價(jià)，提供更高的數(shù)值穩(wěn)定性。

陡角（step angle）：

陡角配置與標(biāo)準(zhǔn)配置類似，適用于PML邊界與周期性邊界條件相結(jié)合的情況。這種配置針對(duì)的是光以幾乎平行于PML邊界的方向傳播的情況，能提供更強(qiáng)的吸收性能。在非常粗略離散化（每個(gè)波長(zhǎng)少于十個(gè)點(diǎn)）的情況下，該配置的吸收特性通常低于標(biāo)準(zhǔn)配置。

自定義（custom）：

標(biāo)準(zhǔn)、穩(wěn)定和陡角配置都是參數(shù)固定的PML配置，自定義配置則允許用戶自定義所有PML參數(shù)值，該配置的初始值被設(shè)為與標(biāo)準(zhǔn)配置相同，如圖二所示。

圖二 自定義PML配置

圖三 為不同方向設(shè)置不同PML邊界條件

3.為所有方向的邊界設(shè)置相同的PML參數(shù)

如圖二紅圈所示，用戶可以選擇是否對(duì)不同的邊界使用不同的PML設(shè)置。取消此選項(xiàng)可以對(duì)笛卡爾坐標(biāo)系所有方向上的邊界進(jìn)行PML設(shè)置，剛提到的四種配置均可選擇。為不同的邊界使用不同的PML設(shè)置可以更好地分配資源，顯著減少仿真時(shí)間。圖二中顯示了3D模擬的PML設(shè)置表，其中僅需要在x min邊界上使用穩(wěn)定配置的PML，其余邊界使用陡角配置的PML。

4.FDE與求解器中的PML設(shè)置

在FDE模擬求解器中，對(duì)于PML的設(shè)置與FDTD和varFDTD略有不同，用戶可以在“高級(jí)選項(xiàng)”中指定控制PML邊界吸收特性的參數(shù)，如圖三所示。FDE求解器直接采用了拉伸坐標(biāo)PML（stretched coordinate PML）公式，且沒有預(yù)定義的配置，如果需要根據(jù)實(shí)際情況修改，則用戶要直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行設(shè)置。

5.PML具體參數(shù)

PML邊界具有有限的厚度，它們占據(jù)了仿真區(qū)域周圍的有限體積，正是在這個(gè)空間內(nèi)邊界條件完成了對(duì)光的吸收。

• layers：由于離散化的需求，PML區(qū)域被劃分為多個(gè)層；

• kappa, sigma, alpha：PML區(qū)域具體的吸收特性由這三個(gè)參數(shù)控制，具體定義在文獻(xiàn)[2]中。根據(jù)定義kappa是無單位的，sigma和alpha則需以歸一化的無單位值的形式，輸入到PML參數(shù)設(shè)置表中。kappa、sigma和alpha都使用多項(xiàng)式函數(shù)在PML區(qū)域內(nèi)進(jìn)行分級(jí)，參數(shù)alpha有時(shí)被描述為復(fù)頻移（complex frequency shift, CFS），它的主要作用是提高數(shù)值穩(wěn)定性。增大alpha/sigma會(huì)使PML邊界更穩(wěn)定，但會(huì)降低其吸收效率，這就是穩(wěn)定配置需要更多PML層數(shù)才能達(dá)到相同吸收性能的原因。要將alpha和sigma轉(zhuǎn)換成SI單位的值，需要乘以自由空間介電常數(shù)的兩倍，再除以仿真的時(shí)間步長(zhǎng)；

• polynomial：用來指定kappa和sigma多項(xiàng)式的階數(shù)；

• alpha polynomial：用來指定alpha多項(xiàng)式的階數(shù)；

• min layers, max layers：限制PML層的數(shù)量范圍。

參考文獻(xiàn)

[1] J. P. Berenger, Perfectly Matched Layer (PML) for Computational Electromagnetics. Morgan & Claypool Publishers, 2007.

[2] S. D. Gedney and B. Zhao, An Auxiliary Differential Equation Formulation for the Complex-Frequency Shifted PML, IEEE Trans. on Antennas & Propagat., vol. 58, no. 3, 2010.